在尚未画完的路径上——Meet in the middle！
好久没有这么正式地说话了。在梦熊讲了三周课约谈了好多好多人，感觉吃下了好多好多 Mindset，想说说关于思考的一些想法。
关于我们如何思考一个"题"。以及在更宏大的时间上，我们如何思考一个——"问题"。
前言
我们常常讨论怎样做出一道题。——对于规定对象、条件和答案的形式，我们需要做的，形如有限时间里找到一条通向答案的路。这是我们必须知道的，也是本文想讨论的：如何思考一道题。
以及更广泛地，研究一个现象、学习一门陌生的理论、处理一个生活中的困境，面对的其实是同一种动作：怎样把一个暂时不知道如何处理的问题，推进到一个我们能够理解、验证或行动的状态。
第一人称迷宫
我们可以把思考过程想象成遍历，而在上帝视角看，问题的推理关系是一张图。只是我们在探索的过程中并不能看到完整的图结构，即第一人称迷宫。
问题最初呈现出来的状态是源点 ，我们希望抵达的状态是汇点 （解决）。思考和演绎推理就是尝试在这张图上找到一条从 S 到 T 的路径。
例如，最经典的应试的证明题中，题目会给出有限且确定的条件，这些已知条件作为推理的起点，即源点（或多个源） S，我们根据数理逻辑做演绎推理，转化条件，导出结论就是在图中扩张 S 集合的的 “可达性”，不断扩张直至存在 S 到 T 的演绎路径。
在不断的做题中，我们又会积累到许多套路("Trick")，比如高中数学背下来的那一大堆”二级结论“，或是答题模板、做题思路、上来就要对题目做的转化…… 经验主义对解决问题有着重要的作用，并且它是可训练的。我把这些 Tricks 简要地归纳为两类，条件反射与问题库。
条件反射指的是，看到某种特征时，能迅速想到其可能有效的转化，即将已知条件可以推导出的已知结论快速抵达。条件反射增大的是源点 S 周围的已知区域，让我们更快看清问题，更快把问题变为形式化、结构化的形式。
问题库指的是，当问题被转化、推理、排除到某一种确定的，熟悉的结构时，能匹配到相似问题并将其解决。问题库增大的是可以直达汇点 T 的区域，让我们知道“什么样的问题是可以被快速解决的”。更重要的是，它能让我们知道，我们想往什么方向走。
因此从 S 到 T 的能力，大致可以从三个角度训练：锻炼本能与条件反射、积累问题库、硬思考的耐心与条理。
本能、条件反射
解决问题中条件反射，是看到某种特征时，能迅速想到其可能有效的转化。
一大堆刻在 DNA 里的本能反应： 看到极值点偏移，想到构造函数；看到对称性，会想到能否减少变量或改变坐标；看到周期性，会想到能否把无限过程折叠到一个周期里；看到 数据范围和 ，想想根号分治。看到一件事长期无法推进，会想到目标是否太大、下一步是否根本没有被定义。
这些反应被刻进 DNA 里的方式就是“熟悉”。它们来自过去一次次把“某个特征”与“某种转化”联系起来。做过的题、读过的论文、失败的实验、与人的谈话，都会留下这样的匹配关系。下一次出现相似特征时，大脑便能快速给出一个方向。
训练这种能力时，可以在每次解决问题后留下一句话：
我看见了什么特征，因此尝试把它转化成什么？
尤其是在依靠外力（寻求指导、题解、AI 等工具）解决问题后，问问自己
我为什么没有看见这个特征。
尝试对这些反复出现的特征建立本能反应，就是在利用脑子的可塑性扩大源点 S 可以到达的集合，再下一次遇到问题时，直接做出这个反应，避免再花时大量的时间去做可以被提前处理好的思考。
第一反应很重要，但它只是一条候选路线。经验越丰富，第一反应有时越强，也越容易受到它的限制。(这也是为什么 BFS 往往在稀疏图上比 DFS 更快到达汇点）。 也许有时我们也需要同时保留几种解释，让几条思路并行生长。 先出现的想法可以先试，却不能垄断整个问题。
问题库、积累
如果说本能反射回答“这个问题可以变成什么”，问题库回答的就是“问题变成什么以后，我就会做了”。
问题库不应该成为答案的仓库，也不应该成为对已知问题的生搬硬套。真正有用的经验是：一个问题在什么时刻开始变得可处理。
也许是变量从许多个减少到了两个；也许是一个连续过程被拆成了若干独立阶段；可能是两个维度可以拆解成无关的维，各自解决；也许是一个庞大的目标被分成了几个能够独立验证的假设。 这些问题在做出转化后，可能就变成了你熟悉的形态，或者已经证明、解决过的问题。
我们要记住这些“已经可以动手”的形状。
算法竞赛中 OI 的数据结构思维就是问题库的一种典型模式，一个数据结构高手往往精通哪些形式化的问题可以做到什么复杂度——就像大家都知道 区间加 区间查 max 可以简单做到 ；而区间加 区间查 kth 就不能做到 polylog。
这也是为什么只记结论往往没有用。结论位于路径的末端，我们真正卡住的地方却通常更早：不知道怎样表示，不知道该保留哪些信息，不知道推导应该进行到什么程度，也不知道什么时候已经可以停止变形，开始计算、实验或行动。
整理一次经历时，不仅记录“这个问题最后是怎样解决的”，更记录：
做到哪一步以后，剩下的部分变成了一个我熟悉的问题？它为什么可以被解决？
还有满足什么条件的类似问题可以被解决？
有时候一个问题套了一层壳，会很难直接匹配到原问题，因此，问题库的模式匹配方式往往也需要多样化。
图像提供空间直观，符号演算把关系压缩成可以操作的形式，表格暴露重复的模式，模拟手操让我们观察一种模式的行为，寻找反例可能帮助我们发现从未意识到的变量。如果某种表示长时间没有产生新信息，就换一种表示，换一种视角，甚至换一个拥有完全不同问题库的人去解决这个问题。
硬思考
即使积累了许多反射和问题，S 与 T 之间仍然会留下空白，暂且把它叫作硬思考。
硬思考是解决一个问题最困难，也最难以训练的部分。它只能由你在这个”现在“中完成，不能直接依赖各种条件反射与模式匹配。
硬思考也并不完全是没有经验可用，只是经验不能直接给出答案，需要在这个特定的当下重新选择、组合、检验已有工具。
完全没有思路时，怎么做？
可以从问题最简单的例子出发。寻找最小、最规则、最极端的情况中是否有已经解决的特例——如一个数论题中 是质数的情况，或是一个图特殊情况下树是一条链的情况。 然后比较：这个特例与原问题有什么相同？它少了哪个条件，多了哪个自由度？这个条件缺失后我们应该如何调整。特例的解决方法在原问题中可能承担什么角色？很多新的观察，恰好藏在特例与原问题的差异里。
另一个方向是泛化。这个问题是否属于一个更一般的模型？它与其他熟悉的问题是否共享某种结构？特例让问题缩小，泛化让问题换到更高的层次。两种动作的目的相同：离开原始表述，获得新的关系。
勇敢地去猜测。在不断的硬思考中锻炼直觉，根据这个直觉去提出猜测，不要害怕这个猜测是假的，尝试去证明它。即使猜测是错误的，我们能从尝试证明它的过程中寻找到一些更弱但有用的。
主动攻击自己的想法（Hacker's Mind）。找反例，改变参数，画出极端情形，用小规模实验检查直觉，如果可以的话也许试试让别人复述你的假设。一个猜想被推翻并不意味着思考失败。只要它排除了一片区域，我们就知道下一步不必再往那里走。
退一步。检查自己是否忽略信息，无意中加强问题，或误解问题。有些时候在前面的思维过程中，我们对问题的转化可能无形中加强了问题，这一个问题是否完全等价于它的转化？它作为它背后的泛化问题，具有怎样的特殊性，该性质应该如何被利用？
思维的链条很长时，中途出错和遗忘的机会指数级的上升。因此要把已经得到的观察清晰、形式化地写下来，把一个很大的跨越拆成更小的中间命题，把已经发现的东西牢牢抓住。在这个过程中，尽可能避免用模糊的语言和感觉来描述。（除非你的感觉足以让你确认某个命题的正确性~）
思维受到阻碍难以推进时，尝试形式化地写下已知的进度后，强制进行短暂的放空与强制抽离，一段时间后（也许是五分钟，也许是几个月）再回归到问题本身，重置一下脑子的第一反应，跳出惯性思维，再会一下这个问题。
（不知道大家有没有玩过那个色度表找不同颜色的测试，一个有趣的技巧就是眨眼重置视觉）
硬思考的速度也非常依赖于大脑本身的内存和频率，这个感觉就很吃天赋了，关于后天锻炼大脑本身的方式，也许就只有好好吃饭好好睡觉，多运动多冥想。以及更可控的那一部分——多思考问题。
时刻知道自己正在怎样前进
思考最危险的时候，不一定是没有想法，而是做了很多事情，却不知道这些动作与问题有什么关系。
”有时候人很忙，但是不知道自己在忙什么。“
对着一个问题焦头烂额而不做出尝试的状态往往是低效的，为尽可能避免这种情况，尝试在思考时能够回答三个问题：我现在沿着哪条路线走？这一步准备验证什么？做到什么程度以后，我会继续、换路或者停下？
对。需要知道什么时候应该换一条路。
解决完一个复杂问题后，可以画一根时间轴。什么时候在理解问题，什么时候在尝试一种表示，什么时候被错误假设拖住，什么时候出现了关键转折，什么时候只是在重复没有信息的动作。
复盘的目的不是从此不走弯路。弯路无法避免，弯路的价值，是让我们下一次走进相似的弯路时，更快意识到自己正在走弯路。
判断是否换路时，也不要被已经付出的时间绑住。已经投入的时间能够成为经验，却不应该成为继续的理由。下一步怎么走，只需要比较从现在开始的成本、成功的可能和能够获得的信息。
沉没成本不参与重大决策。
从题走向问题
一道题通常替我们固定了 S 和 T。真实的问题没有这份便利。
面对一个问题，我们可能有许多不同的起点。问题也可能同时存在几个合理的表述。随着理解加深，我们还会不断修改自己希望抵达的 T，甚至调整 S 的设定——比如收紧或放松问题的一个界，增设条件，排除干扰，或是改变研究的目标。
因此，问题相比于题，我们多了一项工作：维护问题本身。
隔一段时间重新写一次问题，区分已经确认的事实、暂时的解释、未知的领域和自己希望得到的结论。检查原来的目标：我们离它有多远，是否存在其它抵达的路径，有没有一个更容易验证的中间目标。以及最重要的——它是否仍然值得抵达还是只是海市蜃楼。（“这个结论对吗？”）
在生活中仍是如此，不断尝试去维护那个一直困扰你的问题，然后观察它的条件的改变，已知的事实和需要推进的方向。一个遥远的最终目标也会被分成若干阶段性的终点；每到达一个 T，它又成为下一轮的 S。
面向更广阔的时间轴
在长期思考中，我们不必等待完整的道路突然出现。先辨认自己在哪里，想清楚希望把问题推进到什么状态，再制造一个能够带来信息的下一步。
保持清醒，时刻知道自己的思路朝着什么方向进展，现有的进度是什么。保持斗志与耐心，深思熟虑，然后相信自己在成功的道路上一步一步走着。